Lineare Algebra Beispiele

$f (x) = - 2 x^{2} + 9 x + 1$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{9}{2 (- 2)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{9}{2 (- 2)}$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = - \frac{9}{- 4}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{9}{4}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{9}{4}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{9}{4})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$x = \frac{9}{4}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{9}{4})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 {(\frac{9}{4})}^{2} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{4}$ an.

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 \frac{81}{4^{2}} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{9}{4}) = 2 (- 1) (\frac{81}{16}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{81}{2 \cdot 8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9}{4}) = - 1 (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Schritt 3.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{81}{8})$ als $- (\frac{81}{8})$ um.

$f (\frac{9}{4}) = - (\frac{81}{8}) + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere $9 (\frac{9}{4})$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Kombiniere $9$ und $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 1$

Schritt 3.2.1.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} + 1$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{81}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{81}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{81}{8} + \frac{81 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 + 8}{8}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $81$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 162 + 8}{8}$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $- 81$ und $162$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 + 8}{8}$

Schritt 3.2.4.3

Addiere $81$ und $8$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{89}{8}$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{89}{8}$ .

$\frac{89}{8}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(\frac{9}{4}, \frac{89}{8})$

Schritt 5